- Jun 2021
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d[V3(K−Λ3−3|E|2)]= 0.
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One can check that (56) is the flow ofΣin(M\∂M,V−2g)by equidistantsurface
Transformar isso em observação sobre o significado físico do fluxo?
Note que esse fluxo implica numa escolha particular para o campo variacional. Seria interessante justificar essa escolha.
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eachΦt(Σ0) := Σt,t∈[0,δ), is a compact almost properly embedded surface
Em outras palavras, a prpriedade de quase propriamente mergulhada é preservada ao longo do fluxo.
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- Mar 2019
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Evolução da carga
$$ \begin{aligned} Q(t) & \equiv Q_{\nabla\phi}(\Sigma) := {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \langle \nabla\phi, \nu \rangle d\sigma_g \\ %% & = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} d\phi \cdot \nu d\sigma = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \frac{\partial\phi}{\partial\nu} d\sigma \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \Longrightarrow \frac{dQ}{dt} = {1 \over 4\pi} \int_{\Sigma} \left[ d(\partial_t \phi) \cdot \nu + d\phi \cdot \partial_t \nu + d\phi \cdot \nu \frac{tr_{\Sigma} \partial_t g}{2} \right] d\sigma \end{aligned} $$
Tomando \( \alpha = 2 \), obtemos: $$ \begin{aligned}
- {tr_{\Sigma} \partialt g \over 2} & = R - Rc(\nu, \nu) - \alpha \left( |\nabla \phi|^2 - (\partial{\nu} \phi)^2 \right) \ & = R - Rc(\nu, \nu) - 2 \left( |\nabla \phi|^2 - (\partial_{\nu} \phi)^2 \right) \end{aligned} $$
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the maximum principle above, yieldsSmin(t)≥Smin(0)1−2tmSmin(0)(5.3)for allt≥0 as long as the flow exists
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Theorem 4.4Let(g(t),φ(t))solve(RH)αwithα(t)≡α >0. ThenSandSdefined as above satisfy thefollowing evolution equations∂∂tS=△S+ 2|Sij|2+ 2α|τgφ|2,∂∂tSij=△LSij+ 2ατgφ∇i∇jφ.(4.14)Proof.This follows directly by combining the evolution equations from Proposition4.2withthose from Proposition4.3.Remark.Note that in contrast to the evolution of Rc,R,∇φ⊗∇φand|∇φ|2the evolutionequations in Theorem4.4for the combinations Rc−α∇φ⊗∇φandR−α|∇φ|2donotdepend on the intrinsic curvature ofN.
Note que,
$$\alpha = 2 \Longrightarrow S = R - 2 |\nabla \phi|^2,$$
que é justamente a função que precisamos estimar (veja prova do corolário 5.2), no caso particular de um campo gradiente.
Haja visto que no na aproximação eletrostática do eletromagnetismo clássico, o campo elétrico (em domínios simplesmente conexos) é gerado por um potencial escalar, isso sugere que, pelo menos nessa aproximação particular, podemos utilizar esse fluxo \((RH)_{\alpha}\), tomando o pontical elétrico como dado inicial para o fluxo do calor para mapas harmônicos.
Essa ideia é inspirada nas ideias das seções 2 e 3, desse artigo do Benhard List, onde ele observa que soluções estáticas desse fluxo, com \(\alpha\) escolhido adequadamente, coincide com as soluções estáticas para a equação de Einstein no vácuo.
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