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he second fundamental formh0ij,1≤i,j≤n−1 of Σρwith respect to the normalen=∂∂ρis given by(1.3)ωni=n−1∑j=1h0ijωj.

he second fun-damental formhijof Σρwith respect tods2is given by(1.6)hij=u−1h0ij.

Theorem 2.1.The initial value problem (2.1) has a unique solutionuonΣ0×[0,∞)such that(a)u(z) = 1 +m0ρn−2+vwherem0is a constant andvsatisfies|v|=Oρ1−n
and|∇0v|=O(ρ−n);(b)The metricds2=u2dr2+gris asymptotically flat in the sense of (2.23) with scalarcurvatureR≡0outsideΣ0;(c)The ADM massmADMofds2is given byc(n)mADM= (n−1)ωn−1m0= limr→∞ZΣrH0(1−u−1)dσr= limr→∞ZΣr(H0−H)dσr,for some positive constantc(n), whereH0andHare the mean curvatures ofσrwith respect to the Euclidean metric andds2respectively.

d[V3(K−Λ3−3|E|2)]= 0.

One can check that (56) is the flow ofΣin(M\∂M,V−2g)by equidistantsurface

eachΦt(Σ0) := Σt,t∈[0,δ), is a compact almost properly embedded surface

O vetor na Figura 1.10, no entanto, não é igual a , porque sua direção é oposta à de . Definimos um vetor negativo como um vetor que possui o mesmo módulo do vetor original, mas com direção oposta. O valor negativo de um vetor é designado por –e usamos um sinal negativo em negrito para enfatizar sua natureza vetorial. Caso seja um vetor de 87 m apontando para o sul, então –será um vetor de 87 m apontando para o norte. Logo, a relação entre o vetor e o vetor na Figura 1.10 pode ser escrita como  ou . Quando dois vetores e possuem direções opostas, possuindo ou não o mesmo módulo, di-zemos que eles são antiparalelos.

Mi MIX 2S

Mi MIX 2

Mi 8

Poco F1

Mi 5s Plus

Mi 6

Mi Note 3

PROGRAMA DO CONCURSO - PROVA DIDÁTICA

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Do coordenador técnico e profissionais da equipe executora:a)O coordenador do projeto deve ter competência e experiência técnica relacionada ao tema da proposta e vínculo com a beneficiária proponente (participação como sócio ou empregado com vínculo trabalhista, de acordo com as regras da CLT).b)Os demais profissionais que detêm a maioria das competências críticas para o sucesso do projeto deverão ter vínculo (participação como sócios ou empregados com vínculo trabalhista,de acordo com as regras da CLT) com a(s) beneficiária(s)

PRAZOS E VALORES DO PROJETO 6.1. Osprojetos terão prazo de execução de até 12 (doze) meses, contados a partir da data de assinatura do TERMO DE OUTORGAde Subvenção Econômica

Durante as trêsfases de seleção, os proponentes receberão capacitações gratuitas onlineou presenciaisa serem ministradas pela Fundação CERTI, com o intuito de alinhar alguns conceitos importantes, para que possam aprimorar suas ideias e projetos.

REQUISITOS PARA PARTICIPAÇÃO NO PROGRAMA CENTELHAAL4.1As propostas ao PROGRAMA CENTELHA AL poderão ser submetidas por pessoas físicas, vinculadas ou não a empresas

Comércio e Varejo;

Serão apoiados projetos inovadores que tenham suas soluções aplicadas aos setores:

TEMÁTICASE SETORES PRIORITÁRIOS2.1 Serãoapoiados projetos inovadores nas seguintes temáticas:

O proponente deverá, obrigatoriamente, aportar recursos a título de contrapartida financeira, no limite mínimo 5% (cinco por cento) do valor de subvenção econômica contratado.

a ser liberado em até 3(três) parcelas, de acordo com a disponibilidade orçamentária e financeira da FAPEAL.

Aspropostas devem ser inscritas respeitando o limite máximo de R$ 57.143,00 (cinquenta e sete mil, cento e quarenta e três reais)por proposta

Fase 1: Ideias Inovadoras –Nesta fase,as principais dimensões a serem apresentadas pelos proponentes são: (a) problema que soluciona e a explicação da oportunidade, (b) características básicas da solução proposta, (c) diferencial inovador frente ao que já existe no mercado e (d) identificaçãoe perfil da equipe envolvida.

Os requisitos para participação no Programa, cuja comprovação será indispensável para a posterior contratação, são os seguintes:4.1.1 Do proponente sem empresa constituída:a)Pessoa física (coordenador do projeto) que, se aprovada, deverá constituir uma empresacom sede no estadode Alagoaspara contratação e recebimento dos recursos financeiros não reembolsáveis, na forma de subvenção econômica; a.1) A empresa a ser constituída deverá ter objeto social que contemple atividade operacional relacionada com proposta concorrente e, posteriormente, contemplada no âmbito desta chamada; b)Ter vínculo direto com a empresa beneficiária a ser criada (proprietário ou sócio-proprietário), comprovado por meio de contrato social;c)Estar adimplente junto à FAPEAL;d)Ser residente no estado de Alagoas; e)Estar em situação regular no país, se estrangeiro;f)Ter 18 anos completos a partir da data de publicação do edital outer ao menos 16 anos completos com emancipação comprovada

Os recursos disponibilizados serão destinados à subvenção econômica de até28(vinte e oito) projetos de inovação, no valor unitáriopor empresade até R$ 57.143,00 (cinquenta e sete mil, cento e quarenta e trêsreais),

Transporte, LogísticaeMobilidade

Social;

Tecnologia Social;

OBJETIVOEstimular o empreendedorismo inovador por meio de capacitações para o desenvolvimento de produtos (bens e/ou serviços) ou de processos inovadores e apoiar,por meio da concessão de recursos de subvenção econômica (recursos não reembolsáveis),a geração de empresas de base tecnológica,a partir da transformação de ideias inovadoras em empreendimentos que incorporem novas tecnologias aos setores econômicos estratégicos do estado de Alagoas.

here exists a se-quence of initial data that satisfy all the hypothesis of item (i) and suchthat in the limit the equality in (3) is achieved. In this limit, the radius,the charge and the total mass of this sequence tend to zero.

A standard computation using the Gauss equation shows that∂f∂t(0,t′) =ddt|Σ0|g(t)(t′) =−∫Σ0(R−Ric(ν,ν))dμ=−4πχ(Σ0)−∫Σ0(Ric(ν,ν) +|A|2)dμ,where all geometric quantities are computed with respect tog(t′).

A computation in coordinates shows that the Ricci tensor ofhis given byRich(X,X) =−(1V∆gV)h(X,X),Rich(X,Z) = 0,Rich(Y,Z) =Ricg(Y,Z)−1V(HessgV)(Y,Z)

The structure of the metrichnear the singular set clearly implies thatgeodesics realizing the distance between a point inNand a component of∂Mmeets∂Morthogonally. The proof of this fact is essentially the sameas the proof of the Gauss’ Lemma.

the maximum principle above, yieldsSmin(t)≥Smin(0)1−2tmSmin(0)(5.3)for allt≥0 as long as the flow exists

Theorem 4.4Let(g(t),φ(t))solve(RH)αwithα(t)≡α >0. ThenSandSdefined as above satisfy thefollowing evolution equations∂∂tS=△S+ 2|Sij|2+ 2α|τgφ|2,∂∂tSij=△LSij+ 2ατgφ∇i∇jφ.(4.14)Proof.This follows directly by combining the evolution equations from Proposition4.2withthose from Proposition4.3.Remark.Note that in contrast to the evolution of Rc,R,∇φ⊗∇φand|∇φ|2the evolutionequations in Theorem4.4for the combinations Rc−α∇φ⊗∇φandR−α|∇φ|2donotdepend on the intrinsic curvature ofN.

Forsimplicity, let us assume that the boundary of Ω has only one component.Letι: Σ :=∂Ω→Rnbe its isometric embedding. Letν:ι(Σ)→Sn−1be the outer unit normal. Sinceι(Σ) is assumed to be a strictly convexhypersurface inRnthere is a smooth family of embeddingsF: Σ×[0,∞]→RnwhereFt(σ) =F(σ, t) =ι(σ) +tν(ι(σ)).Note thatFt(Σ) are the ‘outer’ distance surfaces ofι(Σ). IfˆΩ denotes thebounded domain enclosed byι(Σ), then{Ft(Σ)}t≥0foliatesRn\ˆΩ and theEuclidean metric on this set can be written asG=dt2+gt,wheregtis the first fundamental form of the embeddingFt: Σ→Rn.

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there is a natural vector space preserving isomorphism between the space of functions on I< and supertranslations on Spi, and that functions on l< which thus correspond to trans-lations are of the type (f(k))(1)) = ka1)a for some vector ka in the tangent space of iO. Consider the linear mapping f(k) -~ r 2 Eab(Dbf(k)kamndSW'n . s (23a) from the space of translations to the reals, where S2 is a 2-sphere cross section of the hyperboloid. Using the definition of f(k), it follows that DaD/Jf(k) '" -f(k)hab• Thus, D'lf(k) is a conformal Killing field on l<. Since Eab is both trace and divergence free, it follows that the integral in Eq. (22) is independent of the choice of the cross section. Thus, we have obtained a conserved quantity which takes values in the dual of the vector space of translations. This is the total 4-momentum. It is not difficult to show that this conserved quantity is essentially the same as the ADM 4-momentum. 6,3 (That is, the two agree when both are defined. )

forα= 1, . . . , n, letY(α)be the Euclidean conformalKilling vector field(|x|2δαi−2xαxi)∂∂xi,define(1.7)cαI(r) =12(n−1)(n−2)ωn−1m∫Sr(Ric−12Rgg)(Y(α), νg)dσgandcI(r) = (c1I(r), . . . , cnI(r)).

the ADM massmcan be computedusing the curvature ofgas follows1: Consider(1.3)mI(r) =1(n−1)(2−n)ωn−1∫Sr(Ric−12Rgg)(X, νg)dσg,where Ric andRgare the Ricci tensor and the scalar curvature ofgrespectively,Xis the Euclidean conformal Killing vector fieldxi∂∂xi,νgis the unit outward normal anddσgis the area element onSrwithrespect tog.

the ADM pw can be written in the Ashtekar-Hansen form [lo]?: ppXp = lim (1 (-det g)l/2~wvapXpxYRnPpu dxP A dx" r+m r=constant d((-det g)'/2&,,,px"XpgaYT~p dxp) (32~)-' +2 I r=constant ) = lim (i (-det g)l/2R,,apXpx" dS"@)(16~)-'

Definition 1.4(Fill-ins).

quasi-local mass quantity is defined in [16] for fill-ins (Ω,g)∈ ̊F(Σ,γ)as follows:m(Ω,g) := Λ(Σ,γ)−18π∫ΣHgdσ.(1.7)HereHgis the mean curvature of the boundary Σ with respect to theunit outward norma

Let(M, g)#(M ,g)be a two-sided asymptotically flat hypersurfaceas above. LetΓ֒→Mbe a smooth, compact inner boundary lying on some totallygeodesic hypersurfaceP ֒→Mand assume that, alongΓ,Mis orthogonal toP.Then, if orientations are fixed as above,mg=mh−cn∫Γ〈X, η〉s1(N)dΓ ++cn∫M(2S2ΘX+ Ricg(N,XT))dM,(1.10)wheres1(N)is the mean curvature ofΓ֒→Pwith respect toN,ηis the exteriorunit co-normal toM,S2is the2-mean curvature ofM(see (2.2) below) andXTis the tangential component ofXalongM.

we use the dilationinvariance of weighted H ̈older norms together with suitable curvature conditionsto obtain uniform bounds of solutions to the initial value problem (1) with initialconditionu−1(1 +ǫ,·) on [1 +ǫ,∞). By Arzela-Ascoli Theorem, there exists aweak solution to (1) withu−1(1,·) = 0 (Theorem 2). S

We introduce the scaling transformation ̃u(t) =√tt+ 1u(t+ 1) wheret∈(0,∞).

Enno Nagel

Abu-Mostafa, Yaser S., Malik Magdon-Ismail, e Hsuan-Tien Lin. 2012. Learning from Data. Vol. 4. AMLBook New York, NY, USA:

Devolvê o último w(t)

as melhoras são insuficientemente importantes

ΔED<

diminuição do erro

o erro

como resgate

ED<

vt := −gt

Chegamos ao:

diminui o mais

w = v

∇ED(w)

ED = N−1∑n = 1, ..., Nlog(1 + e−ynwTxn)

derivado ( = gradiente)

θ(s)=e−s + 1

Esta soma iguala, substituindo Equação 4.2,

−N−1log(P(y1|x1)⋯P(yN|xN)) = N−1log(1/P(y1|x1)) + ⋯ + log(1/P(yN|xN))

se e tão-somente se

pelo fator

monótona e decrescente

logaritmo: Pois a função

são rapidamente minúsculos

e−⋅ = 1/exp

se simplifica a

Pois

por

mas indiretamente

que mais exatamente

por

cardíaco y = 1

que ela aproxima as duas extremidades

credor

tanto mais provável que

a sua pontuação

:

por exemplo,

,

,

),

é em

Quando

X(α)=r2∂α−2xαxi∂i,i.e. Xis the essential conformal Killingfield ofRnobtained by conjugating a translation by the inversion map,one hasδeX(α)=2nxα=2nV(α)

servirá bem em seguida

acerta

usingA−1=1det(A)adj(A)

∇0and∇20are the gradient and Hessianoperator of the Euclidean metric respectively. If we writeu2dr2+gr=∑i,jgijdzidzj.Then direct computations show (see the computations in (2.24), (2.27) below, for example):(2.23)|gij−δij|+ρ|∇0gij|+ρ2|∇20gij|≤Cρ2−n.By the result in [B1], the ADM mass of the metricds2=u2dr2+gris well defined, becausethe scalar curvature ofds2is zero outside a compact set.

the scalar curvatureRofds2is given byR= (1−u−2)Rρ+u−2n−1∑i,jR0ijij+ 2n−1∑i=1Rnini= (1−u−2)Rρ+u−2R0−2u−1∆ρu+ 2u−3∂u∂ρH0whereR0is the scalar curvature ofNwith respect tods20andRρis the scalar curvatureof Σρwith the induced metric.

The key ingredi-ent, introduced by Reiris in [23], is the monotonicity of the Hawking energy(equivalent to the Misner-Sharp energy in spherical symmetry) on untrappedregions.

We only need to compute the null expansions of thespheres in term of the mass and the charge

Wesay the data iselectrovacuumifμM= 0 andj= 0.

Theξibe one of the Killing vectors that generate the groupSO(3), then we say thethe initial data set isspherically symmetricif£ξhij=£ξKij=£ξμ=£ξji= 0,(100)for all the generatorsξofSO(3),

In theorem 1, for the fist time, the sameradius definition is used for both bodies and black holes

The hypothesis of asymptotic flatness is necessary:

A re-gion between two concentric balls is said to beuntrappedifθ+θ−>0 on thatregion. The region it is said to betrappedifθ+θ−<0. The outer boundaryof a trapped region on an asymptotically flat data is called ahorizonand itsatisfiesθ+θ−= 0.

we restrict ourselves to spherically symmetric initial data where the3-dimensional Riemannian manifold is taken to beR3. We call themreg-ular spherically symmetricinitial data. We also assume that the data areasymptotically flat.

∂Bbe a sphere centered at the origin with area radiusR. That is,the area of∂Bis given by 4πR2.

the standard definition of the Riemannian diameter of a setAin the setB⊇A, where bothAandBare subsets of a Riemannian manifold (M,g)(2.1)diam(A,B) := supx,y∈Ainfγ:[0,1]→Bγ(0)=x,γ(1)=y∫10| ̇γ(s)|gds.

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LetNn+1be a complete Riemannian manifold with metrich;i, Levi-Civita connectionrand the usual exponential mapping exp :TN!N.Consider a hypersurfaceMnofNn+1. Givenp2Mnand a xed unitaryvector0that is normal toMnatp, we can parametrize a neighborhood ofMncontainingpand contained in a normal ball ofNn+1as(1.1)'(x) = expp(x+(x)0);where the vectorxvaries in a neighborhoodWof zero inTpMand:W!Rsatises(0) = 0. Observe thatis unique.

Theorem 1.1.LetMn1andMn2be hypersurfaces ofNn+1that are tan-gent atpand let0be a unitary vector that is normal toMn1atp. SupposethatMn1remains aboveMn2in a neighborhood ofpwith respect to0. De-note byH1r(x)andH2r(x)ther-mean curvature atx2WofMn1andMn2,respectively. Assume that, for somer,1rn, we haveH2r(x)H1r(x)in a neighborhood of zero; ifr2, assume also that2(0), the principal cur-vature vector ofM2at zero, belongs tor. ThenMn1andMn2coincide in aneighborhood ofp

A TANGENCY PRINCIPLE AND APPLICATIONS 215Suppose thatMn1remains aboveMn2in a neighborhood ofpwith respect to0.Denote byH1r(x)andH2r(x)ther-mean curvatures atx2WofMn1andMn2,respectively. Assume that, for somer,1rn, we haveH2r(x)H1r(x)in a neighborhood of zero. Ifr2, assume also that2(0), the principalcurvature vector ofM2at zero, belongs tor. ThenMn1andMn2coincide ina neighborhood ofp.

LetMn1andMn2be hypersurfaces ofNn+1that are tangentatp, i.e., which satisfyTpM1=TpM2. Fix a unitary vector0that is normaltoMn1atp. We say thatMn1remains aboveMn2in a neighborhood ofpwith respect to0if, when we parametrizeMn1andMn2by'1and'2asin (1.1), the corresponding functions1and2satisfy1(x)2(x) in aneighborhood of zero.

randomnes

Lemma 4.2.The functionm(r) =ZΣrH0(1−u−1)dσris nonincreasing inr, whereH0is the mean curvature ofΣrinRn.

we can solve (2.1)with initial valueu−10= 0. In fact, by Lemma 2.2,u0satisfies:1−exp−Zr0ψ(s)ds−12≤u0(x,r)≤1−exp−Zr0φ(s)ds−12.This means that Σ0is a minimal surface with respect to the asymptotically flat metricu2dr2+gr.

solve (2.1) and show that the metricds2=u2dr2+gris asymptotically flatoutside Σ0. We will also compute the mass ofds2.

Let Σ0be a compact strictly convex hypersurface inRn,Xbe the position vector ofa point on Σ0, and letNbe the unit outward normal of Σ0atX. Let Σrbe the convexhypersurface described byY=X+rN, withr≥0. The Euclidean space outside Σ0canbe represented by(Σ0×(0,∞),dr2+gr)wheregris the induced metric on Σr. Consider the following initial value problem(2.1)2H0∂u∂r= 2u2∆ru+ (u−u3)Rron Σ0×[0,∞)u(x,0) =u0(x)whereu0(x)>0 is a smooth function on Σ0,H0andRrare the mean curvature and scalarcurvature of Σrrespectively, and ∆ris the Laplacian operator on Σr.

u2dρ2+gρhas the scalar curvatureR, if and onlyifusatisfies(1.10)H0∂u∂ρ=u2∆ρu+12(u−u3)Rρ−12uR0+u32R.

Given a functionRonN, we want to find the equation forusuch that(1.2)ds2=u2dρ2+gρhas scalar curvatureR.

Let Σ be a smooth compact manifold without boundary with dimensionn−1 and letN= [a,∞)×Σ equipped with a Riemannian metric of the form(1.1)ds20=dρ2+gρfor a point (ρ,x)∈N. Heregρis the induced metric on Σρwhich is the level surfaceρ=constant

By (4), we haveddtZΣ×{t}(Hη−Hu)dσt!=ZΣ×{t}(η−1−u−1)H21+K(η−u)−12(η−1−u−1)(H21+|h1|2)dσt.(9)By the Gauss equation and the assumption thatRic(gη) = 0, we have(10)2K=H2η−|hη|2=η−2(H21−|h1|2).Therefore, it follows from (9) and (10) that(11)ddtZΣ×{t}(Hη−Hu)dσt!=−ZΣ×{t}K(η−u)2u−1dσt≤0,where we also used the assumption thatK >0.

Assumption:The scalar curvatureR(gt) =: 2Kofgtand the meancurvatureH1of the leaves Σ×{t}with respect tog1are everywhere positive.Proposition 2(cf. [2], [23], [22]).Under the above assumption, given anypositive functionu0onΣ×{0}, there is a smooth positive functionuonΣ×[0, t0]such that the scalar curvatureR(gu)ofguis identically zero andu|t=0=u0.

k-th Newton transformation ofh) to be the bilinear form given by(23)tk(h) =1k!(n−1−k)!∗(gn−1−khk)

ξi(t) =ξip+t Xi−t22ΓijkXjXk+O(‖tX‖3)

he canonical divergence D induces the metric g and the connections∇and∇∗. The same holds for the mean canonical divergence D∇mcd

if∇is integrable, then it is notgenerally true that X(q,p) =−gradqD∇mcd(p‖·)

mean canonical divergenceD∇mcd(p‖q):=12(D(p‖q) +D∗(q‖p))(64)which obviously satisfiesD(∇∗)mcd(p‖q) =D∇mcd(q‖p)

he energy of the geodesicγp,qas the symmetrized version of the canonical divergence:12(D(p‖q) +D(q‖p))=12∫10∥∥ ̇γp,q(t)∥∥2dt

D(p‖q) =∫10t∥∥ ̇γp,q(t)∥∥2dt(61)whereγp,qdenotes the geodesic from p to q.

D(p‖q) =∫10(1−t)∥∥ ̇γq,p(t)∥∥2dt

inverse exponential map atγq,p(t)satisfiesXt(q,p)= (1−t) ̇γq,p(t)

n-dimensional dual manifold(M,g,∇,∇∗). Consider a∇-geodesicγq,p:[0, 1]→Mconnectingqandp. We define a tangent vector fieldXt(p,q)along this geodesic:Xt(q,p):=X(γq,p(t),p)(52)Obviously,X0=X(q,p)(53)X1(q,p) =0(54)Definition 3.A canonical divergence from p to q is defined by the path integralD(p‖q) =∫10〈Xt(q,p), ̇γq,p(t)〉dt

∫10〈X(γ(t),p), ̇γ(t)〉dt=−∫10〈gradγ(t)Dp, ̇γ(t)〉dt=−∫10(dγ(t)Dp)( ̇γ(t))dt=−∫10d Dp◦γd t(t)dt=Dp(γ(0))−Dp(γ(1))=Dp(q)−Dp(p) =Dp(q) =D(p‖q)(13)In particular, we can apply this derivation to the geodesic connectingqandpeven when theintegrability ofXis not guaranteed and obtain the definition of a general canonical divergence

functionsDpsatisfying the condition of Equation (12) then they are uniqueup to a constant that can vary withp, and we can therefore assumeDp(p) =0

aRiemannian metricgonM. Given such a metric, we assumeintegrabilityofXand∇, respectively,in the sense that for allpthere exists a functionDpsatisfyingX(q,p) =−gradqDp

although being quite restrictive in general, thisproperty will be satisfied in our information-geometric context, wheregis given by the Fisher metricand∇is given by them- ande-connections and their convex combinations, theα-connections

pointspandq, one can interpret anyXwith expq(X) =pas a difference vectorXthattranslatesqtop

p−q=−gradqDp(9)Here, the gradient gradqis taken with respect to the canonical inner product onRn

fixed pointp∈M, we want to define a vector fieldq7→X(q,p), at least in a neighbourhood ofp, thatcorresponds to the difference vector field

manifold is dually flat, a canonical divergence was introduced by Amari and Nagaoka [2], which isa Bregman divergence

a divergence exists for any such manifold. However, it isnot unique and there are infinitely many divergences that give the same geometrical structure

find a divergenceDwhich generates a given geometrical structure(M,g,∇,∇∗)

the coefficientsDΓijk(p) =−∂i∂j∂′kD(ξp‖ξq)∣∣q=p(5)DΓ∗ijk(p) =−∂′i∂′j∂kD(ξp‖ξq)∣∣∣q=p(6)define a pair of dual affine connectionsD∇andD∇∗[1]. The duality of the connections holds withrespect to the Riemannian metricDgin terms of the following condition:X〈Y,Z〉=〈D∇XY,Z〉+〈Y,D∇∗XZ〉(7)for all vector fieldsX,YandZ, where the brackets〈·,·〉denote the inner product with respect toDg

he coefficients of the Riemannian metric can be written asDgij(p) =−∂i∂′jD(ξp‖ξq)∣∣∣q=p=∂′i∂′jD(ξp‖ξq)∣∣∣q=p

When a coordinate systemξ:p7→ξp= (ξ1p, . . . ,ξnp)∈Rnis given inM, we pose one condition that, for two nearby pointsξpandξq=ξp+∆ξ,Dis expanded asD(p‖q) =12Dgij(p)∆ξi∆ξj+O(‖∆ξ‖3)(2)and(Dgij(p))ijis a positive definite matrix.

A divergence functionD(p‖q)is a differentiable real-valued function of two pointspandqin amanifoldM. It satisfies the non-negativity conditionD(p‖q)≥0(1)with equality if and only ifp=q.

Distribuições uniformes

um modelo estatístico regular de dimensãon−1

Given a complete Riemannian 3-manifold (M,g), its isoperimetricprofile with volumeVis defined asI(V) =inf{H2(∂∗Ω) : Ω⊂M is a Borel set with(2.11)f inite perimeter andH3g(Ω) =V}.

VARA DE CRATEÚS Criada pela Lei nº 8.432 de 11/06/1992 Data de instalação: 22/06/1993 Juiz Titular: Laura Anisia Moreira de Sousa Pinto Diretor de Secretaria: Francisco Alves de Mendonça Junior Endereço: Rua Hermínio Bezerra, 801 Bairro: Planalto CE-075 CEP: 63.700 - 000 Crateús/CE Email: varacra@trt7.jus.br Telefone: (88) 3691-2040 / 3691-2473 Jurisdição: Ararendá, Crateús, Hidrolândia, Independência, Ipaporanga, Ipueiras, Monsenhor Tabosa, Novo Oriente, Nova Russas, Parambu, Poranga, Quiterianópolis, Santa Quitéria, Catunda, Tamboril e Tauá.

Não são efetuados cálculos de trabalhadores sem carteira assinada. A orientação é que procurem a Justiça do Trabalho.

TM-valued symmetric bilinear form Ξ :TxM×TxM→TxM,Ξ(X,Y) = ̃h(df(X),df(Y))∇Mψ+g(∇Mψ,X)Y+g(∇Mψ,Y)X

(2q−1)!〈[T(2q−1)α, Aβ]·e⊤α, e⊤β〉

S⊥=hR⊥(∇fα,∇fβ)ηβ, ηαi

the 2-tensorE(k)is defined byE(k)ij:=−12k+1gliδli1i2···i2k−1i2kjj1j2···j2k−1i2kRi1i2j1j2···Ri2k−1i2kj2k−1j2k.Here the generalized Kronecker delta is defined byδj1j2...jri1i2...ir= detδj1i1δj2i1···δjri1δj1i2δj2i2···δjri2............δj1irδj2ir···δjrir.As a convention we setE(0)= 1. It is clear to see thatE(1)is the Einstein tensor. The tensorE(k)ijis a very natural generalization of the Einstein tensor. We callE(k)thek-th Lovelockcurvature

by the Gauss formula we have(4.8)eRslij=hsihlj−hlihsj.

Pstjl(k)=12δi1i2···i2k−3i2k−2stj1j2···j2k−3j2k−2j2k−1j2khj1i1hj2i2···hj2k−2i2k−2gj2k−1jgj2kl,which implies by (2.20) that(4.10)2ePstjl(k)hsj= (2k−1)! (T(2k−1))tpgpl

the variations of various tensors under the Ricci flow: (31)

Lichnerowicz Laplacian (or Hodge-de Rham Laplacian) on symmetric rank (0,2) tensors is defined by the formula (14) and is the usual connection Laplacian

variation formula for the Ricci tensor (13) where is the trace, and the Lichnerowicz Laplacian (or Hodge-de Rham Laplacian) on symmetric rank (0,2) tensors is defined by the formula (14) and is the usual connection Laplacian.

∇∗dΓf(X,Y) = (0, ̄∇df(X,Y) +df(Ξ(X,Y)))⊥

∇df(X,Y) =∇f−1X(df(Y))−df(∇MXY) =∇Ndf(X)(df(Y))−df(∇MXY)

Hessian offfor the Levi-Civita connections∇Mand∇N

(Y,U)⊤and (Y,U)⊥the ̃g-orthogonal projections ontoTΓfandNΓfrespec-tively

∇∗dΓf(X,Y) = ̃∇Γ−1fX(dΓf(Y))−dΓf(∇∗XY)

second fundamentalform∇∗dΓf:TM×TM→NΓfof Γf

∇∗be the Levi Civita connection ofMfor the graph metricg∗

̃∇Γ−1fX(Y,U) = (∇MXY,∇f−1XU) + (− ̃h(df(X),U)∇Mψ , dψ(X)U+dψ(Y)df(X))

h(x) =e2ψ(x)h(f(x)) is a Riemannian metric on the pullback tangent bundlef−1TN

h(x) =e2ψ(x)h(f(x)) is a Riemannian metric on the pullback tangent bundlef−1TN

nduces onMthe graph metric (1.7),g∗(X,Y) =g(X,Y) + ̃h(x)(df(X),df(Y))

nduces onMthe graph metric (1.7),g∗(X,Y) =g(X,Y) + ̃h(x)(df(X),df(Y))

seen as the embedding ofMby the graph map Γf:M→ ̃M, Γf(x) = (x,f(x)),

f:M→N, and the graph submanifold, Γf={(x,f(x)) :x∈M} ⊂ ̃M

seen as the embedding ofMby the graph map Γf:M→ ̃M, Γf(x) = (x,f(x)),

∇M,∇Nand ̃∇denote the Levi-Civita connections of (M,g), (N,h) and ( ̃M, ̃g) respec-tively

Riemannian manifolds (Mm,g) and (Nn,h), and a functionψ:M→R,defining a Riemannian space ( ̃M, ̃g), where ̃M=M×Nand ̃g=g+e2ψh.

No texto do Acordo Ortográfico de 1990 (em vigor no Brasil desde 01/01/2009, com prazo de quatro anos para sua implantação definitiva), foi também incluída uma seção sobre o uso de letras maiúsculas (a Base XIX). Suas disposições alteram em parte o que constava do Formulário Ortográfico. Uma primeira novidade é que a Base XIX trata não só das maiúsculas, mas também das minúsculas. E isso porque, em alguns casos, o uso em Portugal diferia do nosso (o nome dos meses, por exemplo: lá se grafava em maiúscula, aqui em minúscula. Agora, ficou estabelecido que será grafado só em minúscula). Um segundo aspecto é que o texto diminuiu, para nós brasileiros, o número de situações em que se usa inicial maiúscula: o FO de 1943 listava quinze e o Acordo lista oito. Em outras palavras, o núcleo duro permanece, mas repetem-se as idas e vindas da faixa em que sempre houve oscilação. Um terceiro aspecto é o fato de o texto do Acordo mencionar três casos em que é indiferente usar inicial maiúscula ou minúscula: 1) os nomes que designam domínios do saber, cursos e disciplinas. Podemos, agora, grafar, por exemplo, Matemática ou matemática, Línguas e Literaturas Modernas ou línguas e literaturas modernas;       2) em palavras usadas reverencialmente, aulicamente ou hierarquicamente (por exemplo, numa correspondência, ‘meu caríssimo Mestre’ ou ‘meu caríssimo mestre’), em início de versos, em categorização de logradouros públicos (rua ou Rua da Liberdade), templos (igreja ou Igreja do Bonfim), edifícios (palácio ou Palácio da Cultura);      3) nos axiônimos (termos de reverência) e hagiônimos (nomes ligados às práticas religiosas). Este último caso, motivou uma certa discussão pela forma como está a redação do texto do Acordo. Na Base XIX, 1º, letra f, lê-se: 1º) A letra minúscula inicial é usada: f) Nos axiônimos e hagiônimos (opcionalmente, neste caso, também com maiúscula)... Alguns se perguntaram se a expressão “neste caso” se refere apenas aos hagiônimos ou integralmente ao caso definido na alínea f (axiônimos e hagiônimos). Qual teria sido o espírito do legislador? Quando escrevi o primeiro texto sobre o Acordo para este site (cf.     Mudanças ortográficas, publicado em 11/05/07), não tive dúvida: fiz a leitura abrangente da expressão e afirmei: Ficou facultativo usar a letra maiúscula nos nomes que designam os domínios do saber (matemática ou Matemática), nos títulos (Cardeal/cardeal Seabra, Doutor/doutor Fernandes, Santa/santa Bárbara) e nas categorizações de logradouros públicos (Rua/rua da Liberdade), de templos (Igreja/igreja do Bonfim) e edifícios (Edifício/edifício Cruzeiro). E fiz a leitura abrangente da alínea f tendo a tradição como pano de fundo: os axiônimos, independentemente de estarem ou não arrolados nas “regras”, sempre foram grafados com inicial maiúscula. A leitura restrita implicaria um rompimento radical com a tradição, o que não está no espírito do Acordo. Até mesmo porque o próprio Acordo, em outra disposição, mantém optativa a maiúscula “nos nomes usados reverencialmente, aulicamente ou hierarquicamente” (que, no fundo, são axiônomos), conforme apontamos acima. Nesta semana, recebi um e-mail de uma leitora questionando minha leitura abrangente. Seu argumento é que, a exemplificação da alínea f está assim: “senhor doutor Joaquim da Silva, bacharel Mário Abrantes, cardeal Bembo; santa Filomena (ou Santa Filomena)”. Ou seja, a alternativa só aparece explicitamente no caso do hagiônimo, o que, segundo ela, resolve a ambiguidade a favor da leitura restrita. Aí, voltei ao texto do Acordo e descobri uma coisa interessantíssima: o texto publicado no Diário Oficial da União (como adendo ao decreto nº 6.583/08 do presidente da República, que determina a vigência da ortografia unificada a partir de 01/01/2009) difere, neste item específico, do texto oficial publicado pela CPLP – Comunidade dos Países de Língua Portuguesa. Neste, a exemplificação está assim: “senhor doutor Joaquim da Silva, bacharel Mário Abrantes, Cardeal Bembo; Santa Filomena (ou santa Filomena)”. [‘Cardeal’ em maiúscula] No DOU, este trecho aparece assim: “senhor doutor Joaquim da Silva, bacharel Mário Abrantes, cardeal Bembo; Santa Filomena (ou santa Filomena”. [‘cardeal’ em minúscula] Claro, tornar a grafia dos axiônimos um problema é, em princípio, uma questão bizantina. No entanto, leituras estritas dessas convenções sempre acabam por causar dano às pessoas, como vimos recentemente no caso samba/Samba da prova de ingresso ao Instituto Rio Branco (assunto ao qual voltarei em outro momento). Penso que a leitura abrangente é a mais defensável. Ela se sustenta  no espírito do Acordo, que é simplificador e flexibilizador, na tradição e no bom-senso, que, em matéria de língua, é sempre indispensável. No uso da prerrogativa que o Acordo me faculta, continuarei a grafar os axiônimos e hagiônimos com inicial maiúscula, embora cada um de nós possa optar, nestes dois casos, pela inicial minúscula.

Letβ:V×V→Wbe a symmetric bilinear form whereVand (W,h,i) arereal vector spaces of finite dimensionnandp, respectively, equipped withinner products.Thes-nullityνsofβfor any integer 1≤s≤pis defined byνs= maxUs⊂Wdim{x∈V:βUs(x, y) = 0 for ally∈V}.HereβUs=πUs◦βwhereUsis anys-dimensional subspace ofWandπUs:W→Usdenotes the orthogonal projection.LetR:V×V×V×V→Rbe the multilinear map with the algebraicproperties of the curvature tensor defined byR(x, y, z, w) =hβ(x, w), β(y, z)i − hβ(x, z), β(y, w)i.Lemma 4.Assume that2p < nandνs< n−2sfor all1≤s≤p. LetV=V1⊕V2be an orthogonal splitting such thatR(x, y, z, u) =R(x, y, u, v) =R(x, u, v, w) = 0for anyx, y, z∈V1andu, v, w∈V2. Then,S=span{β(x, y) :x∈V1andy∈V2}= 0.

second fundamental_form h satisfies h(TpL,xTpLj =0 forallp E M

USvia a ber respecting dieomorphism:EjUw[[[]pUSpr1UEis called thetotal space,Mis called thebase space,pis a surjective submersion,called theprojection, andSis calledstandard ber. (U; ) as above is called aber chartor alocal trivializationofE.

A(ber) bundle(E;p;M;S) consists of manifoldsE,M,S,and a smooth mappingp:E!M; furthermore it is required that eachx2Mhas an open neighborhoodUsuch thatEjU:=p1(U) is dieomorphic to

(Invariant local form theorem for n.d.o.). Let D(M): C?(V(M))--C?(W(M)) be a n.d.o. of order k. Then D looks the same in every coordinate system, i.e., there exists a map P: E V- W lal (k a n-tuple such that locally D(f)(x)>P(Djf(x)) under every local coordinate system.

ding T9:R'--R'. Then there exists a unique n.d.o. D(M):C'(Vi(M)) -*C??(V2(M)) such that D(R n) = p. Proof. Given an n-manifold M, we construct D(M): C??(V1(M)) C ??( V2(M )) as follows: Suppose s E C ( V1(M )), and Tp: R n ->UCM is a chart. Define D(M)(s)rU=(9(-l)*P(T9*s). The assumption on P implies that this gives a well-defined n.d.o. with the required property

Suppose V1(M) and V2(M) are two n.v.b. and P:C??(V,(Rn)) ->C (V2(Rn)) is a differential operator such that Tp*P= Pap* for every embed-

consider the linear space C?(F(M)) of all smooth sections of F(M), and for an embedding p:M-*N there is an induced map p*:C?(F(N))*C??(F(M)) given by qg*s= F()-'osoT. Thus M-C??(F(M)) is a functor from 9ln to the category of real vector spaces. Definition 0.3. A natural differential operator (n.d.o.) from one n.v.b. F1 to another n.v.b. F2 is a family of differential operators {D(M):C??(Fi(M)) -> C?(F2(M)), M an n-manifold} such that (P*D(N)= D(M)q* for every embedding 9p: M-*N.

Let M be an rc-dimensional manifold of class C°° and g any given Riemannian metric on M. We will consider the following classical problem motivated by differential geometry. Does there exist an embedding u = (w1,..., uq) : M -> R9 such that the usual euclidian metric of R9 induces on the submanifold u(M) the given metric gl In other words, w must satisfy E(w) := du-du = g, (1) or in local coordinates 9 du1 du1 _ ,tîâ?â?"Qij' The dot in (1) denotes the usual scalar product of R9. The notion embedding means, that w is locally an immersion and globally a homeomorphism of M onto the subspace u(M) of R*. If an embedding w : M -• R9 satisfies (1) on the whole M, we speak of an isometric embedding. If w is an immersion and a solution of (1) in a (possibly small) neighbourhood of any point of M, we speak of a local isometric embedding.

Lemma 2.3.(2.1) has a unique solutionufor allrwhich satisfies the estimates in Lemma2.2.

Let Σ0be a smooth compact strictly convex hypersurface inRn. Letrbe the distance function from Σ0. Then the metric on the exteriorNof Σ0is given bydr2+gr, wheregris the induced metric on Σr, which is the hypersurface with distancerfrom Σ0. The functionuwith prescribed scalar curvatureR= 0 is given by2H0∂u∂r= 2u2∆ru+ (u−u3)RrwhereH0is the mean curvature of Σr,Rris the scalar curvature of ΣrandR0is the scalarcurvature of Σrwith the induced metric fromRnand ∆ris the Laplacian on Σr.

θ dμ ≥ p 16 π | Σ |

GIBBONS-PENROSE INEQUALITY

θ dμ ≥ p 16 π | Σ |