• [ ] 动态规划的本质 #share

非常好的问题。让我为您详细解释这些概念。

1. 最优化问题：

最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找可能解中的最佳解（最大值或最小值）。例如： - 寻找最短路径 - 最大化利润 - 最小化成本

1. 最优子结构：

最优子结构是指问题的最优解包含其子问题的最优解。换句话说，可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。

特点： - 问题可以被分解为更小的子问题 - 子问题的最优解能够用来构造原问题的最优解

例子：最短路径问题 如果从A到C的最短路径经过B，那么A到B的这段路径一定是A到B的最短路径，B到C的这段路径一定是B到C的最短路径。

1. 无后效性：

无后效性是指某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。

特点： - 当前状态仅与前一个状态有关，与更早的状态无关 - **未来的决策只依赖于当前状态，不依赖于如何达到当前状态 ** 例子：0-1背包问题 在考虑是否将第i个物品放入背包时，只需要考虑当前背包的剩余容量和第i个物品的价值，而不需要关心背包中已经放入了哪些物品。

让我们通过一个简单的例子来说明这些概念：

问题：计算从1到n的最大连续子数组和。

```python def max_subarray_sum(arr): n = len(arr) dp = [0] * n dp[0] = arr[0]

for i in range(1, n):
    dp[i] = max(arr[i], dp[i-1] + arr[i])

return max(dp)

示例

arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] print(max_subarray_sum(arr)) # 输出: 6 ```

在这个例子中：

1. 最优化问题：我们在寻找最大的连续子数组和。

2. 最优子结构：

3. 子问题：对于每个位置i，我们考虑以i结尾的最大子数组和。

4. 最优解构造：原问题的最优解是所有子问题最优解中的最大值。

5. 无后效性：

6. 在计算dp[i]时，我们只需要知道dp[i-1]和arr[i]，不需要知道之前的具体决策。

7. 未来的决策不会影响当前的决策。

8. 重叠子问题：

9. 在计算过程中，我们重复使用了之前计算的结果（dp[i-1]）。

通过理解这些特性，我们可以更好地识别和解决适合使用动态规划的问题。这些特性使得我们能够将复杂问题分解为更小的子问题，并有效地重用子问题的解来构建最终的最优解。

您提出了一个很好的问题。我来解释一下动态规划和分治算法的区别，并通过一个简单的例子来说明。

动态规划和分治算法的主要区别：

1. 子问题的依赖性：
2. 动态规划：子问题之间通常是相互依赖的。

3. 分治算法：子问题通常是独立的。

4. 重叠子问题：

5. 动态规划：存在大量重叠子问题。

6. 分治算法：子问题通常不重叠。

7. 解决方式：

8. 动态规划：自底向上或自顶向下（带备忘录）解决。
9. 分治算法：通常自顶向下递归解决。

让我们通过斐波那契数列的计算来举例说明：

斐波那契数列定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0, F(1) = 1

1. 分治算法实现：

python def fibonacci_divide_conquer(n): if n <= 1: return n return fibonacci_divide_conquer(n-1) + fibonacci_divide_conquer(n-2)

这个实现会导致大量重复计算。例如，计算 F(5) 时：

F(5) ├── F(4) │ ├── F(3) │ │ ├── F(2) │ │ │ ├── F(1) │ │ │ └── F(0) │ │ └── F(1) │ └── F(2) │ ├── F(1) │ └── F(0) └── F(3) ├── F(2) │ ├── F(1) │ └── F(0) └── F(1)

可以看到，F(3)、F(2)等被重复计算了多次。

1. 动态规划实现：

python def fibonacci_dp(n): if n <= 1: return n dp = [0] * (n + 1) dp[1] = 1 for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] return dp[n]

这个实现避免了重复计算。我们只计算每个子问题一次，并将结果存储在 dp 数组中。

通过这个例子，我们可以看到：

1. 子问题依赖：F(n) 依赖于 F(n-1) 和 F(n-2)。
2. 重叠子问题：在分治方法中，较小的斐波那契数被重复计算多次。
3. 动态规划的优势：通过存储中间结果，避免了重复计算，大大提高了效率。

这就是为什么在处理具有重叠子问题的问题时，动态规划通常比分治算法更有效。动态规划利用了问题的这种结构，通过存储和重用子问题的解来提高效率。

递归解法：

```Java class Solution { public ListNode mergeTwoLists(ListNode list1, ListNode list2) { if (list1 == null){ return list2; } if (list2 == null){ return list1; }

    if (list1.val <= list2.val){
        list1.next = mergeTwoLists(list1.next, list2);
        return list1;
    }
    else{
        list2.next = mergeTwoLists(list1, list2.next);
        return list2;
    }
}

} ```

什么情况下会选择使用 HashSet 而不是 HashMap：

1. 只需要存储唯一元素时：
   • HashSet 只存储元素本身，而 HashMap 存储键值对。
   • 如果你只关心元素的唯一性，不需要与之关联的值，就应该使用 HashSet。
2. 需要快速检查元素是否存在：
   • HashSet 提供了高效的 contains() 方法，用于检查元素是否存在。
   • 如果你经常需要检查某个元素是否在集合中，HashSet 是个好选择。
3. 需要去重：
   • HashSet 自动确保所有元素都是唯一的。
   • 如果你有一个包含重复元素的集合，并且想要去除重复项，可以将其转换为 HashSet。
4. 实现数学集合操作：
   • HashSet 适合执行并集、交集、差集等集合操作。因为唯一性
5. 不需要保持插入顺序：
   • HashSet 不保证元素的顺序
6. 内存效率：
   • 当你只需要存储元素而不需要额外的键时，HashSet 比 HashMap 更节省内存。

== 是在比较是否是同一个对象

分治法的设计思想

linear regression, dis-criminant function classifiers, Naive-Bayes classifiers,support vector machines,logistic regression classi-fiers, and decision tree classifiers.

隐含语义分析

机器学习算法。该算法使用两种类型的数据:(a)静态数据:人口统计数据，如年龄、性别、地理区域、先前教育;(b)行为数据:学生在VLE主办的课程中的互动。这些数据来源被证明是预测学生提交作业的重要指标。

Latent Semantic Analysis

随机深林机器学习算法