Diesen gebrochenen Zahlen, welche zunächst als reine Zeichen auftreten, kann in vielen Fällen eine actuelle Bedeutung beigelegt werden.
A presented meaning can in many cases be attributed to these rational numbers, which at first appear as pure signs,
Wie wir die Regeln der rein formalen Verknüpfungen, d. h. der mit den mentalen Objecten vorzunehmenden Operationen definiren, steht in unserer Willkühr, nur muss eine Bedingung als wesentlich festgehalten werden: nämlich dass irgend welche logische Widersprüche in den- selben nicht implicirt sein dürfen.
How we define the rules of purely formal operations (Verknüpfungen), i.e., of carrying out operations (Operationen) with mental objects, is our arbitrary choice, except that one essential condition must be adhered to: namely that no logical contradiction may be implied in these same rules.
man sich zu der gegebenen Reihe von Ob- jecten eine inverse hinzudenkt
one adds an inverse in thought to the given series of objects
Man sieht aber nicht, wie unter — 3 eine reale Substanz verstanden werden kann, wenn das ursprünglich gesetzte Object eine solche ist, und würde im Rechte sein, wenn man — 3 als eine nicht reelle, imaginäre Zahl als eine „falsche" bezeichnete.
one cannot see how a real substance can be understood by -3... and would be within his rights if he refers to -3 as a non-real, imaginary number, as a "false" one.
Eine andere Definition des Begriffes der formalen Zahlen kann nicht gegeben werden; jede andere muss aus der Anschauung oder Erfahrung Vorstellungen zu Hilfe nehmen, welche zu dem Begriffe in einer nur zufälligen Beziehung stehen, und deren Beschränktheit einer allgemeinen Untersuchung der Rechnungsoperationen unüber- steigliche Hindemisse in den Weg legt..
A different definition of the concept of the formal numbers cannot be given; every other definition must rely on ideas from intuition or experience, which stand in only an accidental relation to the concept, and the limitations of which place insurmountable obstacles in the way of a general investigation of the arithmetic operations.
Die Bedingung zur Aufstellung einer allgemeinen Arithmetik ist daher eine von aller Anschauung losgelöste, rein intellectuelle Mathem&tik, eine reine Formenlehre, in welcher nicht Quanta oder ihre Bilder, die Zahlen verknüpft werden, sondern intellectuelle Objecte, Gedankendinge, denen actuelle Objecte oder Relationen solcher entsprechen kön- nen, aber nicht müssen.
The condition for the establishment of a general arithmetic is therefore a purely intellectual mathematics detached from all intuition, a pure theory of form, in which quanta or their images, the numbers, are not combined, but rather intellectual objects, thought-things, to which presented objects or relations of such objects can, but need not, correspond.
Frege, Hankel, and Formalism in the Foundations discusses this text in relation to Frege's Grundlagen
Wie überhaupt die Entwicklung mathematischer Begriffe und Vorstellungen historisch zwei entgegengesetzte Phasen zu durchlaufen pflegt, so auch die des Imaginären. Zunächst erschien dieser Begriff' als paradox, streng genommen unzulässig, unmög- lich;
As the development of mathematical concepts and ideas generally goes historically through two opposed phases, so goes also that of the imaginary numbers. At first this concept appeared as a paradox, strictly inadmissible, impossible;
Wissenschaft leistete, im Laufe der Zeit alle Zweifel an seiner Legitimität nieder und es bildete sich die Ueberzeugung seiner inneren Wahrheit und Nothwendigkeit in solcher Entschiedenheit aus, dass die Schwierigkeiten und Widersprüche, welche man anfangs in ihm bemerkte, kaum noch gefühlt wurden. In diesem zweiten Stadium befindet sich die Frage des Imaginären heut zu Tage ; — indessen bedarf es keines Beweises, dass die eigentliche Natur von Begriffen und Vorstellungen erst dann hinreichend auf- geklärt ist, wenn man unterscheiden kann, was an ihnen noth- wendig ist, und was arbiträr, d. h. zu einem gewissen Zwecke in sie hineingelegt ist.
however, in the course of time, the essential services which it affords to science subdue all doubts of its legitimacy, and one is convinced in such decisiveness of its inner truth and necessity, that the difficulties and contradictions which one noticed in it at the beginning are hardly felt. Today, the question of imaginary numbers is in this second stage; --- however it needs no proof that the actual nature of concepts and ideas is only sufficiently clarified when one can distinguish what is necessary in them, and what is arbitrary, i.e., is put to a certain purpose in them.